Fabian Reffel
6. TopMath-Jahrgang (WS 2009/10)

Mentor: Prof. Dr. Friedrich Pukelsheim 
Universität Augsburg

BiographieBiographie

ForschungsinteressenForschungsinteressen

Das iterative proportionale Anpassungsverfahren (IPFP, für "iterative proportional fitting procedure") findet sich in zahlreichen Disziplinen wieder. Bereits in den 60er Jahren wurde es in den Wirtschaftswissenschaften bei der Input-Output-Analyse eingesetzt, während man es heute unter anderem in der Statistik bei Graphischen Modellen oder in der Verkehrsflussplanung verwendet. Im diskreten Fall ist das Ziel des Algorithmus, durch Skalierung von Spalten und Zeilen eine gegebene Matrix an bestimmte Zeilen- und Spaltensummen anzupassen. Auf den allgemeinen Fall übertragen bedeutet dies, dass eine gegebene zwei- oder auch mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung an vorgegebene Randverteilungen angepasst werden soll. Dieser allgemeine Fall steht dabei im Vordergrund.

Der IPFP-Algorithmus wurde 1940 von Deming und Stephan vorgestellt. Die Konvergenz des Algorithmus war lange Zeit ein offenes Problem. Erst 1975 gelang durch Csiszàr der Beweis für den diskreten Fall und 1995 durch Rüschendorf für den kontinuierlichen, jeweils unter gewissen Regularitätsbedingungen. Lässt man diese Bedingungen fallen, dann zeigen alle Beispiele, dass der Algorithmus genau zwei Häufungspunkte hat. Dies ist bislang unbewiesen.

Bei den bisherigen Arbeiten wurde dabei nur die nicht so intuitive Informationsdivergenz benutzt. Ein Ziel meiner Arbeit ist, den Algorithmus bezüglich des L1-Abstandes zu den vorgegebenen Randverteilungen zu untersuchen. Darüber hinaus möchte ich die zahlreichen Ergebnisse für den diskreten Fall weitestgehend verallgemeinern. Schließlich will ich die oben angesprochene unbewiesene Behauptung zeigen.

Wissenschaftliche ArbeitenWissenschaftliche Arbeiten

• F. Reffel, Abgeschlossenheit von Summenräumen, Master's Thesis, 2011.
• F. Reffel, Analyse von Ratingklassenverteilungen, Bachelor's Thesis, 2009.