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Manuel Friedrich Mentor: Prof. Dr. Bernd Schmidt
Stipendien und Auszeichnungen
Generell interessiere ich mich vor allem für Bereiche der angewandten Analysis, insbesondere partielle Differentialgleichungen und Variationsrechnung. Konkret beschäftige ich mich mit Bruchmechanik. Dort stellt man sich die Frage, wie sich Körper unter einer vorgegebenen Deformation verhalten und ob rein elastische Verformungen oder auch Brüche des Materials auftreten.Um dies genauer zu untersuchen, versucht man Minimierer von geeignet gewählten Energiefunktionalen zu bestimmen. Eine typische Herangehensweise ist das Aufstellen eines diskreten Modells von Atomen in einem Gitter. Dies erscheint sinnvoll, da echte Materialen auch aus einzelnen Atomen mit (wenn auch kleinem) positven Abstand bestehen. Mit Hilfe des Konzepts der Gamma-Kovergenz versucht man einen geeeigneten Grenzwert des Energiefunktionals zu bestimmen. In vielen Anwendungszusammenhängen spielt dabei das Griffith-Potential eine entscheidende Rolle, das für kleine Deformationen das elastische Verhalten gut beschreibt und bei großen Verschiebungen (d.h. bei Brüchen) einen festen Energiebetrag liefert. Um zufriedenstellende Ergebnisse zu erhalten, betrachtet man spezielle Funktionenräume. Während man im eindimensionalen Fall mit stückweise Sobolev-Funktionen auskommt, benötigt der höherdimensionale Fall sog. Funktionen beschränkter Variation. Hierbei handelt es sich um Funktionen, deren Ableitung durch endliche Radonmaße dargestellt werden können. Bisher wurde vor allem der Fall einer skalarwertigen Deformation betrachtet, d.h. die einzelnen Teilchen können sich nur in eine (vorgegebene) Raumrichtung bewegen. Im physikalisch richtigen Modell müssen sich die Atome aber in alle Raumrichtungen bewegen können. Im Moment beschäftige ich mich mit der Frage, inwiefern die Ergebnisse aus dem skalarwertigen auf den vektorwertigen Fall verallgemeinert werden können. |
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