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Alexander Engel Mentor: Prof. Dr. Bernhard Hanke
Stipendien und Auszeichnungen
In der Grobgeometrie studiert man das Verhalten der Topologie und Geometrie von Räumen im Unendlichen, d.h. man untersucht nicht einzelne lokale Details, wie z.B. die Krümmung von Mannigfaltigkeiten an bestimmten Stellen, sondern ihr Verhalten im gesamten Raum, z.B. die (Nicht-)Beschränktheit der Krümmung, bzw. ihres Wachstums. Als ein weiteres Beispiel seien noch die metrischen Räume R und Z genannt, die in der Grobgeometrie als "gleich" angesehen werden, da sie "von weit weg" nicht mehr unterscheidbar sind ("zoomt" man weit genug heraus, so liegen die Punkte von Z irgendwann so nah beieinander, dass es nur noch wie ein einzelner Strich aussieht). Ein wichtiges Hilfsmittel im Studium grobgeometrischer Räume ist die sogenannte "uniform endliche Homologie", welche von Block und Weinberger entwickelt wurde. Sie nutzten das Verschwinden der entsprechenden 0-ten Homologiegruppe aus, um die Existenz von Metriken positiver Skalarkrümmung ("psc-Metriken") auf bestimmten nicht-kompakten Mannigfaltigkeiten zu zeigen. Jedoch ist bisher der Einfluss der entsprechenden höheren Homologiegruppen nicht klar und dies ist der Ansatzpunkt meiner Arbeit. In einem engen Zusammenhang zur Existenz von psc-Metriken steht das sogenannte A-Dach-Geschlecht einer Mannigfaltigkeit, welches in der 0-ten uniform endlichen Homologiegruppe "lebt". Mit Hilfe von klassifizierenden Abbildungen kann man nun entsprechende höhere A-Dach-Geschlechter definieren, die auf natürliche Weise Elemente der höheren uniform endlichen Homologiegruppen darstellen. Nun kann man untersuchen, ob diese höheren Geschlechter ebenfalls unter der Existenz von psc-Metriken verschwinden. Nach einer Arbeit von Whyte ist die uniform endliche Homologie dual zu der Beta-Kohomologie, die von Roe eingeführt wurde. Roe hat gezeigt, dass diese Beta-Kohomologie ein natürlicher Empfänger für die topologischen Indizes von Dirac-Operatoren ist, und somit eine Verallgemeinerung des Atiyah-Singer-Indexsatzes auf nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten gegeben. Kombiniert man nun die Arbeiten von Whyte und Roe, so kann man die uniform endliche Homologie im Zusammenhang mit Indexsätzen studieren. Der Atiyah-Singer-Indexsatz ist in seiner allgemeinen Form für Pseudodifferentialoperatoren auf kompakten Mannigfaltigkeiten definiert und insofern ist es natürlich eine Verallgemeinerung davon auf den nicht-kompakten Fall zu suchen. Die Untersuchung dieser Operatoren auf nicht-kompakten Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie ist auch zur Zeit Teil meiner Forschung und ich versuche zusammen mit dem oben beschriebenen Zusammenhang zwischen Indexsätzen und uniform endlicher Homologie hiervon die Brücke zur Grobgeometrie zu schlagen. Wissenschaftliche ArbeitenWissenschaftliche Arbeiten
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