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Susanne Apel Mentor: Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert
Stipendien und Auszeichnungen
Die große Überschrift meiner Forschungsgebiete ist die Geometrie. Hier bin ich, wie andere Mathematiker auch, auf der Suche nach Einfachheit und Schönheit. Oft ergibt sie sich durch Abstraktion und Verallgemeinerung. Um zu dieser zu gelangen, ist es in der Geometrie manchmal sinnvoll, sich recht konzeptionelle Fragen zu stellen. So ist z.B. die Darstellung von Punkten durch ihre Koordinaten in manchen Situationen nicht immer die beste Wahl. Die wichtigere Information ist manchmal nur die Lage der Punkte zueinander. Solche Überlegungen führten einst zur Definition der orientierten Matroide. Hier stellte man auch Verbindungen zu anderen Teilbereichen der Mathematik fest, so dass verschiedene Gebiete voneinander profitieren konnten. Solche Synergien faszinieren mich, da sie oft vollkommen neue Perspektiven eröffnen. Grob gesprochen interessiere ich mich weniger für „glatte“ Geometrie als vielmehr für kombinatorische und algebraische Aspekte. Als „Setup“ verwendet man oft die projektive Geometrie, die selbst eine Verallgemeinerung ist, die Schönheit schafft: Man nimmt zur euklidischen Ebene „Fernpunkte“ hinzu, so dass sich Geraden immer schneiden (auch solche, die wir zuvor als parallel betrachtet haben). Auf dieser Grundlage habe ich mich in der Bachelorphase mit Schließungssätzen, orientierten Matroiden und deren Realisierbarkeit beschäftigt. Letztere kann man zum Beweisen von Sätzen verwenden. Man führt den Beweis, indem man zeigt, dass die Kombinatorik eines Gegenbeispiels nicht geometrisch realisierbar ist. Mich habe Beziehungen zwischen dieser Beweismethoden zu einer anderen untersucht. Bei dieser benutzt man die Dreieckssätze von Ceva und Menelaus als Grundbausteine. Klebt man Dreiecke so zusammen, dass alle Kanten verklebt sind und alle bis auf eine Seite Ceva- oder Menelauskonfigurationen tragen, so ergibt sich automatisch auf der letzten Seite eine bestimmte Konfiguration. Es stellte sich heraus, dass diese Beweismethode äquivalent ist zu der effizienten Beweismethode für die Nicht-Realisierbarkeit eines Gegenbeispiels durch biquadratische Finalpolynome. Momentan beschäftige ich mich in verschiedenster Weise mit sogenannten Brackets, also formalen Determinanten, die auch für die Definition von orientierten Matroiden motivierend waren. Inspiration waren dabei oft die Sätze von Ceva und Menelaus. Zum einen interessiere ich mich für Kürzungsmuster, die beim Multiplizieren von Bracketgleichungen entstehen können. Zum Anderen möchte ich geometrisch interpretieren, was es für ein (homogenes) Bracketpolynom (mit ganzzahligen Koeffizienten) bedeutet, wenn es für eine bestimmte Punktkonfiguration verschwindet. Dazu muss man annehmen, dass einige Punktetripel nicht kollinear sind. Wissenschaftliche ArbeitenWissenschaftliche Arbeiten
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